Ước số là gì? Bội số là gì?

  • Tác giả: Ngô Linh Trang |
  • Cập nhật: 07/11/2022 |
  • Giáo dục |
  • 2042 Lượt xem
5/5 - (3 bình chọn)

Trong bài viết dưới đây, Luật Hoàng Phi sẽ cung cấp đến Quý bị độc giả tổng hợp kiến thức Toán học về Ước số là gì? Bội số là gì?

Ước số là gì?

Số nguyên dương b lớn nhất là ước của cả hai số nguyên a, b được gọi là ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của a và b. Trong trường hợp cả hai số nguyên a và b đều bằng 0 thì chúng không có ƯCLN vì khi đó mọi số tự nhiên khác không đều là ước chung của a và b.

Nói theo cách khác uớc số là một số tự nhiên khi một số tự nhiên khác chia với nó sẽ được chia hết.

Mô tả rõ hơn thì khi một số tự nhiên A được gọi là ước số của số tự nhiên B nếu B chia hết cho A.

Ví dụ: 6 chia hết được cho [1,2,3,6], thì [1,2,3,6] được gọi là ước số của 6.

Ước số chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp ước chung.

Cách tìm ước chung lớn nhất

Để tìm ƯCLN, cần thực hiện:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Chú ý:

– Hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ước chung lớn nhất của hai số bằng 1.

– Cách tìm Ước chung thông qua tìm ƯCLN.

Bội số là gì?

Bội số của A là các số chia hết cho A

Bối số nhỏ nhất của A là số nhỏ nhất chia hết cho A

Ví dụ: bội số của 3 là 3, 6, 9, 12, 15 …

Bội số nhỏ nhất của 3 là chính nó

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

BCNN được xác định theo các bước:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN cần tìm.

Chú ý:

– Nếu hai số a, b là hai số nguyên tố cùng nhau thì BCNN là tích của a.b

– Nếu a là bội của b thì a cũng chính là BCNN của hai số a, b.

Một số dạng toán về ƯCLN và BCNN

– Từ định nghĩa ước chung lớn nhất, muốn biểu diễn hai số phải tìm, ta cần liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số.

– Trong một số trường hợp, ta có thể dùng mối quan hệ đặc biệt giữa ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất với tích của hai số nguyên dương a, b. Cụ thể: ab = (a, b).[a, b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Cách chứng minh hệ thức này sẽ như sau:

+ Từ định nghĩa về ƯCLN, ta gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1 (*)

+ Từ (*) => ab = mnd2; [a, b] = mnd

+ => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab

+ => ab = (a, b).[a, b] . (**)

Bài tập về ƯCLN và BCNN

Bài tập 1: Tìm ƯCLN của:

a) 40 và 60

b) 24, 84, 180

Cách giải

a) 40 và 60

Ta có: (40=2 mũ 3 nhân 5); (60=2 mũ 2 nhân 3 nhân 5)

Vậy (UCLN(40,60)=2 mũ 2 nhân 5=20)

b) 24,84,180

Ta có: (24=2 mũ 3 nhân 3); (84=2 mũ 2 nhân 3 nhân 7); (180= 2 mũ 2 nhân 3 mũ 2 nhân 5)

Vậy (UCLN(24,84,180)=2 mũ 2 nhân 3=12)

Bài tập 2: Tìm BCNN của:

a) 84 và 108

b) 24, 40, 168

Cách giải

a) 84 và 108

Ta có: (84=2 mũ 2 nhân 3 nhân 7); (108=2 mũ 2 nhân 3 mũ 3)

Vậy (BCNN(84,108)=2 mũ 2 nhân 3 mũ 3 nhân 7=756)

d) 24, 40, 168

Ta có: (24=2 mũ 3 nhân 3); (40=2 mũ 3 nhân 5); (168=2 mũ 3 nhân 3 nhân 7)

Vậy (BCNN(24,40,168)=2 mũ nhân 3 nhân 5 nhân 7=840)

Bài tập 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.

Lời giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.

Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1.

Theo định nghĩa BCNN:

[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

=> m = 1, n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80.

Chú ý: Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này: ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy ra mn = 15.

Bài tập 4: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6.

Lời giải: Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.

Do (a, b) = 6 => a = 6m; b = 6n với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1; m ≤ n.

Vì vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặc là a = 12, b = 18.

Bài tập 5: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.

Lời giải:

Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3.

Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2.

Kết quả: a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.

Chú ý: Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN: Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.

Trên đây là nội dung bài viết Ước số là gì? Bội số là gì? Cảm ơn Quý khách hàng đã quan tâm theo dõi bài viết của chúng tôi.

5/5 - (3 bình chọn)