Trọng tâm, trọng tâm tam giác là kiến thức quan trọng của môn toán trong chương trình phổ thông. Vậy, Trọng tâm là gì? nó là điểm như thế nào và có những tính chất gì? Hãy cùng theo dõi nội dung bài viết dưới đây nhé.

Trọng tâm là gì?

Trọng tâm là một vị trí ở giữa của một cái gì đó.

Có rất nhiều định nghĩa về trọng tâm khác nhau trong nhiều lĩnh vực như là: Trọng tâm của tam giác, trọng tâm của tứ giác, trọng tâm của ngôi nhà, trọng tâm của con đường, trọng tâm của vấn đề, trọng tâm trong vật lý,…

Trọng tâm tam giác là gì?

Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến, một tam giác có 3 đường trung tuyến, đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Nói một cách dễ hiệu thì với hình tam giác ABC. Chúng ta kẻ từ đỉnh A sang cạnh đối diện được trung điểm D, kẻ từ B sang được trung điểm E, kẻ từ C sang được trung điểm F. Theo đó, ba điểm này sẽ giao nhau tại điểm G nên chúng ta gọi G là điểm trọng tâm.

Tính chất trọng tâm tam giác

Ngoài khái niệm Trọng tâm là gì? trọng tâm tam giác là gì cần nắm đực tính chất trọng tâm tam giác.

– Tính chất của trọng tâm tam giác là: Khoảng cách từ trọng tâm tới 3 đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có:

+ GA = 2/3 AM

+ GB = 2/3 BN

+ GC = 2/3 CP

– Trọng tâm tam giác vuông: Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường.

+ Tam giác MNP vuông tại M.

+ 3 đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN.

– Trọng tâm tam giác cân

+ Tam giác ABC cân tại A, có G là trọng tâm.

+ Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác, từ đó ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau:

Góc BAD bằng góc CAD.

Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC.

– Trọng tâm của tam giác vuông cân

+ Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC.

+ Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên:

AB = AC.

=> BP = CN và BN = AN = CP = AP.

Trọng tâm tam giác đều

+ Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

+ Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

Cách tìm trọng tâm tam giác

– Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến

Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến.

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E.

Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC.

– Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến

Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến.

Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC.

Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM.

Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC.

Một số bài tập về trọng tâm của tam giác

Trọng tâm là gì? Trong các bài tập các bạn học sinh thường sử dụng nhiều đến trọng tâm của hình tam giác do đó cần nắm được khái niệm, ý nghĩa và cach xác định trọng tâm của hình tam giác để áp dụng vào việc giải bài tập.

Bài tập 1: Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.

Hướng dẫn giải:

Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S.

Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I.

Ta có ∆MNP đều, suy ra:

MS = PR = NO (1).

Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến:

MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2).

=>Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. CHứng minh tam giác ABC cân tại A

Lời giải:

Vì BM và CN là hai đường TT của tam giác mà BM giao CN tại G, nên ta có:

BGBM=CGCN=23BGBM=CGCN=23

Mà BM = CN nên BG = CN và GN = GM

Xét ΔBNG và ΔCGMΔBNG và ΔCGM ta có:

BG = CN

GN = GM

ˆBGN=ˆCGMBGN^=CGM^ ( 2 goc đối đỉnh)

Suy ra : ΔBNG đồng dạng ΔCMGΔBNG đồng dạng ΔCMG

Suy ra: BN = CM (1)

mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2)

Từ (1) và (2) ta cí AB = AC => Tam giác ABC cân tại A( đpcm).