Trong thực tế, ta bắt gặp rất nhiều hình ảnh về giao điểm. Vậy Giao điểm là gì? Bài viết dưới đây sẽ trình bày một số kiến thức trọng tâm như khái niệm và cách xác định giao điểm của hai đường thẳng, cùng với đó là các dạng bài tập hay và ví dụ để từ đó thôi thúc niềm đam mê Toán học của các em.

Giao điểm là gì?

Giao điểm là hai đường thẳng cắt nhau, hai đường thẳng chỉ có một điểm chung và điểm chung này được gọi là giao điểm của hai đường thẳng đó.

Cách phát biểu khác: Giao điểm của hai đường thẳng là điểm chung duy nhất của hai đường thẳng đó.

Trong hình học, một giao điểm là một điểm cùng thuộc về hai, hoặc nhiều hơn, đoạn thẳng, tia, hoặc đường thẳng, đường cong, mặt phẳng, hoặc các bề mặt hoặc các hình khối khác nhau. Giao điểm là điểm giao nhau của hai đường thẳng.

Việc xác định giao điểm trong hình học phẳng là một bài toán đại số tuyến tính, tìm nghiệm cho hệ phương trình tuyến tính. Trong hình học phức tạp hơn, việc xác định giao điểm, hoặc giao tuyến tương ứng với tìm nghiệm của hệ phương trình phi tuyến, có thể được thực hiện bằng phương pháp số.

Ví dụ dùng vòng lặp Newton. Ví dụ, việc tìm các giao điểm giữa một đường thẳng với một đường conic (đường tròn, elíp, parabôn,…), hoặc với một mặt bậc hai (mặt cầu, mặt trụ, hypeboloit,…) dẫn đến việc giải quyết hệ phương trình bậc hai.(tính chất của giao điểm.

Cách tìm giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng

– Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là tìm các điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng 

– Trường hợp ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).
Trương hớpn không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm một mp (Q) chứa a.

+ Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).

+ Gọi: A = a ∩ b thì: A = a ∩ (P).

Lưu ý: Hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng.

Một số dạng toán về giao điểm của hai đường thẳng 

Sau khi đã hiểu được Giao điểm là gì? thì cần nắm được một số dạng toán về giao điểm của hai đường thẳng để vận dụng làm bài tập.

– Dạng 1: Bài toán tìm giao điểm của 2 đường thẳng

Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm của hai đường thẳng, ta xác định một điểm chung duy nhất của hai đường thẳng đó, khi đó điểm chung tìm được chính là giao điểm mà ta cần tìm.

– Dạng 2: Bài tập tính số giao điểm

Cho bài toán sau: Cho n (n > 1) đường thẳng, biết hai đường thẳng bất kỳ nào trong n đường thẳng đó luôn cắt nhau tại một điểm và không có ba đường thẳng nào cùng có một điểm chung. Hãy tính số giao điểm của chúng.

Phương pháp giải:

+ Ta chọn ra 1 đường thẳng trong n đường thẳng đã cho, khi đó đường thẳng này sẽ cắt n – 1 đường thẳng còn lại và số giao điểm được tạo ra là: n – 1 (giao điểm);

+ Vì có n đường thẳng nên số giao điểm được tạo ra là: n . (n – 1) (giao điểm);

+ Số giao điểm bị lặp lại 2 lần nên số giao điểm thực tế là: n . (n – 1) : 2 (giao điểm).

Đáp số: Số giao điểm cần tính là n . (n – 1) : 2 giao điểm.

Bài tập có liên quan đến giao điểm của hai đường thẳng

Giao điểm là gì? sau đây sẽ là một số bài tập có liên quan đến giao điểm của hai đường thẳng.

Bài tập 1: Cho ba điểm S, Q, T không thẳng hàng. Em hãy vẽ các đường thẳng SQ, ST và QT và cho biết ba điểm S, Q, T lần lượt là giao điểm của cặp đường thẳng nào?

Hướng dẫn giải:

+ Điểm S là giao điểm của đường thẳng SQ và đường thẳng ST;

+ Điểm Q là giao điểm của đường thẳng SQ và đường thẳng QT;

+ Điểm T là giao điểm của đường thẳng ST và đường thẳng QT.

Bài tập 2: Cho 218 đường thẳng, biết hai đường thẳng bất kỳ nào trong 218 đường thẳng đó luôn cắt nhau tại một điểm và không có ba đường thẳng nào cùng có một điểm chung. Hãy tính số giao điểm của chúng.

Hướng dẫn giải:

– Ta chọn ra 1 đường thẳng trong 218 đường thẳng đã cho, khi đó đường thẳng này sẽ cắt 217 đường thẳng còn lại và số giao điểm được tạo ra là: 217 (giao điểm);

– Vì có 218 đường thẳng nên số giao điểm được tạo ra là: 218 . 217 = 47306 (giao điểm);

– Số giao điểm bị lặp lại 2 lần nên số giao điểm thực tế là: 47306 : 2 = 23653 (giao điểm).

Đáp số: Số giao điểm cần tính là 23653 giao điểm.

Hy vọng rằng qua nội dung bài viết trên đây sẽ cung cấp cho các em học sinh những kiến thức cơ bản về giao điêm và một số bài tập liên quan để các em có thể tham khảo trong quá trình làm bài tập để có thể đạt được kết quả tốt nhất.