Công thức tính thể tích hình cầu

Trong hình học không gian chúng ta được học rất nhiều dạng hình học trong đó một dạng hình học mà khi nhắc đến trái đất chúng ta liên tưởng ngay đến nó, đó chính là hình cầu. Trái đất là hình cầu rộng lớn bao phủ sự sống của cả thế giới. Ngoài ra còn rất nhiều đồ vật có dạng hình cầu khác mà trên thực tế chúng ta phải tính thể tích của nó. Vậy công thức tính thể tích hình cầu là gì?

Cách tạo nên hình cầu

Hình cầu được tạo thành khi chúng ta quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R quanh đường kính AB cố định của nó.

Nửa đường tròn trong phép quay nói trên tạo nên hình cầu. Điểm O được gọi là tâm hình cầu, R là bán kính của hình cầu hay mặt cầu đó.

Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng

Hình cầu được tạo bởi toàn bộ không gian tính từ mặt cầu đến tâm của nó. Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần mặt phẳng nằm trong hình đó (mặt cắt) là một hình tròn.

Khi cắt mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng ta được một đường tròn có bán kính R nếu mặt phẳng đi qua tâm O (gọi là đường tròn lớn) hoặc có bán kính nhỏ hơn R nếu mặt phẳng không đi qua tâm O.

Ví dụ: Trái đất được xem như một hình cầu và xích đạo là một đường tròn lớn đi qua tâm hình cầu.

Công thức tính thể tích hình cầu

Công thức tính thể tích hình cầu như sau:

V_{(hình cầu)} = πR³

Trong đó V là ký hiệu thể tích; R là bán kính khối cầu.

Bài tập tính thể tích hình cầu

Bài 1: Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích toàn phần của hình trụ là 384π cm². Tính thể tích hình cầu

Bài làm:

Gọi bán kính của hình cầu là R

Hình cầu nội tiếp ở trong hình trụ nên bán kính của hình cầu chính là bán kính đáy của hình trụ -> bán kính đáy của hình trụ là R, đường cao của hình trụ là h = 2R.

Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 384π cm² nên ta có:

S_{tp hình trụ} = 2πRh + 2πR²

⇔ 384π = 2π.R.h + 2π.R²

⇔ 384π = 2π.R.2R + 2π.R²

⇔ 384π = 6π.R²

⇔ R² = 64

=> R=8

Vậy R = 8

Thể tích của hình cầu là:

V_{(hình cầu)} = πR³ = π.8³ = 682,67 (cm³)

Bài 2: Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường sinh của hình nón bằng 12 cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu.

Bài làm:

Gọi bán kính của hình cầu là R

=> Bán kính đáy của hình nón là R (vì bán kính đáy của hình nón bằng bán kính đáy của hình cầu)

+) S_{xq hình nón} = π.r.l (trong đó r là bán kính đáy, l là đường sinh)

⇔S_{xq hình nón} = π.R.12 

+) S_{mặt cầu} = 4 π.R²

Mà      S_{xq hình nón} = S_{mặt cầu}  nên

π.R.12 = 4π.R²

⇔ 4π.R2 – π.R.12 = 0

⇔ 4π.R.(R-3) = 0

⇔ 4π.R = 0 hoặc R-3 = 0

=> R=3     

Vậy R = 3 cm (nhận)

Thể tích hình cầu là:

V_{(hình cầu)} = πR³ = π.3³ = 36π (cm³)

Công thức diện tích mặt cầu

Công thức diện tích mặt cầu là:

S = 4πr^2

Trong đó:

S là diện tích mặt cầu.

r là bán kính của mặt cầu.

π là hằng số pi, xấp xỉ bằng 3.14159.

Để tính diện tích mặt cầu, ta lấy bán kính của mặt cầu bình phương, nhân với hằng số pi và nhân với 4.

Ví dụ, để tính diện tích mặt cầu với bán kính là 5 cm, ta có thể sử dụng công thức như sau:

S = 4πr^2 = 4 x 3.14159 x 5^2 = 314.159 cm²

Vậy diện tích mặt cầu với bán kính 5 cm là 314.159 cm² (làm tròn đến ba chữ số thập phân).

Lưu ý khi tính diện tích hình cầu

– Đơn vị thể tích tính theo khối (như cm³, m³) cần chú ý theo đơn vị đề bài cho, một bài toán đưa ra đáp số có thể có nhiều đáp án để lựa chọn cả về con số và đơn vị nên cần phải chú ý để không bị đề bài lừa và chọn sai.

Nếu đề bài cho các cạnh khác đơn vị, chúng ta phải đổi về cùng một đơn vị trước khi tính diện tích để tránh bị sai. Thầy cô thường sẽ cho một hoặc hai cạnh có đơn vị khác trong dữ kiện đề bài hoặc những cạnh khác trong hình. Đầu tiên chúng ta phải thực hiện đổi chúng về cùng đơn vị trước khi làm các vấn đề khác để tính thể tích hình cầu.

– Nếu để bài yêu cầu tính một phần của hình cầu, chẳng hạn như hãy tính phân nửa hay một phần tư thể tích hình cầu, trước tiên hãy tìm thể tích toàn phần, sau đó đem thể tích ấy nhân với phân số mà đề bài yêu cầu cần tìm. Ví dụ, một hình cầu có thể tích toàn phần là 8, đề bài yêu cầu tính thể tích một nửa hình cầu, chúng ta phải lấy 8 nhân với ½ hoặc lấy 8 chia cho 2, kết quả cần tìm là 4, vậy thể tích nửa hình cầu là 4.

Trên đây, là toàn bộ nội dung liên quan đến công thức tính thể tích hình cầu là gì? Mọi thắc mắc liên quan đến nội dung bài viết trên, quý vị có thể liên hệ với chúng tôi để được giải đáp nhanh chóng nhất.