Công thức tính khoảng cách

Khoảng cách là đại lượng vật lý và toán học để tính độ lớn của đoạn thẳng nối giữa hai điểm nào đó.

Trong đời sống thường ngày, người ta sử dụng thuật ngữ khoảng cách để chỉ độ dài của một đoạn đường nào đó, có thể không phải là một đường thẳng lý tưởng. (Nói chính xác hơn thì mọi điểm phân biệt trên bề mặt Trái Đất nối với nhau theo một dây cung chứ không phải đường thẳng). Trong kinh tế, giao thông-vận tải, người ta sử dụng thuật ngữ khoảng cách để chỉ độ dài của một con đường (bộ hay sắt) hay tuyến đường biển, đường hàng không làm một giá trị nhằm tính toán các tối ưu về chi phí trong vận chuyển hàng hóa và hành khách.

Khác với vị trí trong các hệ tọa độ, khoảng cách là một đại lượng không có các giá trị âm. Khoảng cách là một đại lượng vô hướng, nó chỉ có độ lớn mà không có hướng như các đại lượng véc tơ.

Đơn vị đo độ lớn của khoảng cách trong khoa học được tính theo hệ đo lường quốc tế là mét và các bội số hay ước số của nó. Tuy nhiên trong cuộc sống người ta cũng hay lấy thời gian trung bình để có thể vượt qua khoảng cách giữa hai điểm làm thước đo độ lớn của nó. Ví dụ: “Khoảng cách giữa Hà Nội và Hải Phòng là 2 giờ xe chạy.

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong không gian ba chiều, ta có thể sử dụng công thức sau:

+ Cho điểm A(x1, y1, z1) và đường thẳng AB có phương trình vector là V = (a, b, c).

+ Tìm điểm C(x2, y2, z2) trên đường thẳng AB sao cho AC và AB vuông góc với nhau.

+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn thẳng AC.

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:

d = |(A – C) x V| / |V|

Trong đó:

+ |A – C| là độ dài đoạn thẳng AC, được tính bằng công thức: |A – C| = sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2).

+ V là vector phương của đường thẳng AB, được tính bằng công thức: V = (a, b, c).

+ |(A – C) x V| là độ dài của tích có hướng giữa vector (A – C) và V, được tính bằng công thức: |(A – C) x V| = |(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) x (a, b, c)|.

+ |(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) x (a, b, c)| là độ dài của tích có hướng giữa hai vector (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) và (a, b, c), được tính bằng công thức: |(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) x (a, b, c)| = sqrt((b*(z2 – z1) – c*(y2 – y1))^2 + (c*(x2 – x1) – a*(z2 – z1))^2 + (a*(y2 – y1) – b*(x2 – x1))^2).

+ |V| là độ dài của vector phương của đường thẳng AB, được tính bằng công thức: |V| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2).

Lưu ý rằng trong trường hợp đường thẳng là đoạn thẳng, ta cần phải kiểm tra xem điểm C có nằm trên đoạn thẳng AB hay không. Nếu không, khoảng cách sẽ không chính xác.

Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian ba chiều, ta có thể sử dụng công thức sau:

+ Cho điểm A(x1, y1, z1) và mặt phẳng P có phương trình tổng quát là ax + by + cz + d = 0, trong đó (a, b, c) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

+ Tìm điểm B(x2, y2, z2) trên mặt phẳng P sao cho AB vuông góc với mặt phẳng P.

+ Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P bằng độ dài đoạn thẳng AB.

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

d = |ax1 + by1 + cz1 + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

Trong đó:

+ |ax1 + by1 + cz1 + d| là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P, được tính bằng giá trị tuyệt đối của phép tính ax1 + by1 + cz1 + d.

+ sqrt(a^2 + b^2 + c^2) là độ dài của vector pháp tuyến (a, b, c) của mặt phẳng P.

Lưu ý rằng nếu vector pháp tuyến (a, b, c) của mặt phẳng P không được chuẩn hóa (tức là không có độ dài bằng 1), ta phải chuẩn hóa nó trước khi sử dụng công thức trên bằng cách chia toàn bộ vector cho độ dài của nó.

Để tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều, ta có thể sử dụng công thức sau:

d = sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2)

Trong đó:

+ (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) là tọa độ của hai điểm trong không gian ba chiều.

+ sqrt là hàm căn bậc hai, được sử dụng để tính độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm.

Công thức này tính khoảng cách giữa hai điểm bằng cách tính độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Công thức này có thể được áp dụng cho bất kỳ hai điểm nào trong không gian ba chiều.