Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Định nghĩa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được định nghĩa là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm đó và mặt phẳng đó. Khoảng cách này được tính bằng cách vẽ một đường thẳng vuông góc từ điểm đó xuống mặt phẳng và đo độ dài của đường thẳng đó.

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có thể sử dụng công thức sau:

Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 là:

|Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Trong đó:

– P là tọa độ của điểm cần tính khoảng cách đến mặt phẳng.

– A, B, C, D lần lượt là hệ số của phương trình mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0.

– sqrt(A^2 + B^2 + C^2) là căn bậc hai của tổng bình phương của hệ số A, B, C.

Ví dụ, giả sử chúng ta cần tính khoảng cách từ điểm P(3, 4, 5) đến mặt phẳng 2x – 3y + z – 1 = 0.

Đầu tiên, chúng ta xác định hệ số A, B, C, D của phương trình mặt phẳng:

A = 2 B = -3 C = 1 D = 1

Tiếp theo, chúng ta áp dụng công thức để tính khoảng cách:

|2(3) – 3(4) + 1(5) – 1| / sqrt(2^2 + (-3)^2 + 1^2)

= |-4| / sqrt(14)

= 4 / sqrt(14)

Vậy khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng 2x – 3y + z – 1 = 0 là 4 / sqrt(14).

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Công thức tính khoảng cách từ một điểm P(x1, y1, z1) đến một mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 được xác định như sau:

Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng được tính bằng khoảng cách giữa điểm P và điểm Q, trong đó điểm Q là điểm trên mặt phẳng thỏa mãn đường thẳng PQ vuông góc với mặt phẳng.

Để tìm điểm Q, ta chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng làm điểm M(x2, y2, z2), rồi tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng N = (A, B, C). Khi đó, vector PQ chính là vector giữa P và M, ta có thể tính được điểm Q như sau:

Q(x2, y2, z2) = P + t * N / |N|, trong đó t là tham số và |N| là độ dài của vector pháp tuyến.

Sau khi đã tìm được điểm Q, ta tính khoảng cách từ điểm P đến điểm Q bằng công thức:

d(P, Q) = |PQ| = sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2)

Tổng kết lại, công thức tính khoảng cách từ một điểm P(x1, y1, z1) đến một mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 được xác định như sau:

d(P, Q) = |PQ| = sqrt((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2 + (z2 – z1)^2)

trong đó:

Q(x2, y2, z2) = P + t * N / |N| là điểm trên mặt phẳng thỏa mãn đường thẳng PQ vuông góc với mặt phẳng, với t là tham số và N = (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

A, B, C, D lần lượt là hệ số của phương trình mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0.

Ví dụ, giả sử chúng ta cần tính khoảng cách từ điểm P(2, 3, 4) đến mặt phẳng 3x – 2y + z + 5 = 0.

Đầu tiên, chúng ta xác định hệ số A, B, C, D của phương trình mặt phẳng:

A = 3 B = -2 C = 1 D = -5

Tiếp theo, chúng ta tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng N = (A, B, C) = (3, -2, 1). Chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng, ví dụ M(1, 1, -8), ta tính vector PQ và điểm Q như sau:

– Vector PQ = M – P = (1, 1, -8) – (2, 3, 4) = (-1, -2, -12)

– Độ dài của vector pháp tuyến N = |N| = sqrt(3^2 + (-2)^2 + 1^2) = sqrt(14)

– Tham số t = (PQ . N) / |N|^2 = (-1, -2, -12) . (3, -2, 1) / 14 = -17/14

– Điểm Q = P + t * N / |N| = (2, 3, 4) – (17/14) * (3, -2, 1) / sqrt(14) = (59/14, 43/14, -105/14)

Cuối cùng, chúng ta tính khoảng cách từ điểm P đến điểm Q bằng công thức:

d(P, Q) = |PQ| = sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + (-12)^2) = sqrt(149)

Vậy khoảng cách từ điểm P(2, 3, 4) đến mặt phẳng 3x – 2y + z + 5 = 0 là sqrt(149).

Cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong không gian

Giả sử bạn có một điểm P(x1, y1, z1) và một mặt phẳng có phương trình Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng là khoảng cách ngắn nhất giữa điểm P và mặt phẳng.

Để tính khoảng cách này, ta có thể sử dụng công thức sau:

d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Trong đó:

d là khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng.

A, B, C và D là các hệ số của phương trình của mặt phẳng.

sqrt(A^2 + B^2 + C^2) là độ dài của vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Ví dụ: Giả sử bạn có điểm P(2, 3, 4) và mặt phẳng có phương trình 3x – 2y + 5z – 7 = 0. Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng sẽ là:

d = |3(2) – 2(3) + 5(4) – 7| / sqrt(3^2 + (-2)^2 + 5^2) = 23 / sqrt(38) ≈ 3.74

Vì vậy, khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng là khoảng cách khoảng 3.74.

Cách tính hoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tọa độ

Để tính khoảng cách từ một điểm P đến một mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 trong hệ tọa độ XYZ, ta có thể sử dụng công thức sau đây:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Trong đó:

P(x0, y0, z0) là tọa độ của điểm P.

A, B, C, D là các hệ số của phương trình của mặt phẳng.

sqrt(A^2 + B^2 + C^2) là độ dài của vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Ví dụ: Giả sử bạn có một điểm P(3, 2, 1) và một mặt phẳng có phương trình 2x + 3y – z + 4 = 0. Để tính khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng, ta thay vào công thức trên như sau:

d = |2(3) + 3(2) – 1(1) + 4| / sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = |17| / sqrt(14) ≈ 4.11

Vì vậy, khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng là khoảng 4.11.

Ngoài ra, còn một cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sử dụng vector pháp tuyến của mặt phẳng. Công thức này là:

d = |(P – Q) · n| / |n|

Trong đó:

P là tọa độ của điểm cần tính khoảng cách đến mặt phẳng.

Q là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng.

n là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

|n| là độ dài của vector pháp tuyến.

Ví dụ: Giả sử bạn có một điểm P(3, 2, 1) và một mặt phẳng có phương trình 2x + 3y – z + 4 = 0. Để tính khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng, ta cần tìm một điểm Q trên mặt phẳng và vector pháp tuyến n của mặt phẳng.

Để tìm Q, ta chọn ví dụ y = 0 và giải phương trình của mặt phẳng để tìm x và z:

2x – z + 4 = 0 ⇒ 2x + 4 = z

Ta có thể chọn Q là điểm có tọa độ (x, y, z) = (0, 0, 4). Vì vậy, Q là (0, 0, 4).

Để tính vector pháp tuyến n của mặt phẳng, ta lấy hệ số của x, y và z trong phương trình của mặt phẳng, và sắp xếp chúng thành một vector:

n = (2, 3, -1)

Giờ ta có đủ thông tin để tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng:

d = |(P – Q) · n| / |n| = |(3, 2, 1) – (0, 0, 4)) · (2, 3, -1)| / sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = |(3, 2, -3) · (2, 3, -1)| / sqrt(14) = |-1| / sqrt(14) ≈ 0.26

Vậy, khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng là khoảng 0.26.

Cách tính khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng A và B, ta cần tìm vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng, sau đó tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng A đến mặt phẳng B. Công thức này được tính như sau:

d = |(P – Q) · nB| / |nA|

Trong đó:

P là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt phẳng A.

Q là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt phẳng B.

nA và nB lần lượt là vector pháp tuyến của mặt phẳng A và mặt phẳng B.

|nA| là độ dài của vector pháp tuyến của mặt phẳng A.

Ví dụ: Giả sử bạn có hai mặt phẳng A và B, với phương trình lần lượt là:

Mặt phẳng A: x + 2y + 3z – 1 = 0

Mặt phẳng B: 2x – y + z + 4 = 0

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này, ta cần tìm vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Đối với mặt phẳng A, vector pháp tuyến là (1, 2, 3), và độ dài của vector này là sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14). Đối với mặt phẳng B, vector pháp tuyến là (2, -1, 1).

Tiếp theo, ta cần chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng A và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng B. Ví dụ, chọn điểm P(1, 0, 0) trên mặt phẳng A:

d = |(P – Q) · nB| / |nA| = |(1, 0, 0) – (-2, -4, -3)) · (2, -1, 1)| / sqrt(14) = |(3, 4, 3) · (2, -1, 1)| / sqrt(14) = 10 / sqrt(14) ≈ 2.68

Vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng A và B là khoảng 2.68.

Ngoài ra, còn một cách khác để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Đó là tìm một đường thẳng vuông góc cả hai mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến mặt phẳng A hoặc mặt phẳng B.

Công thức để tính khoảng cách này là:

d = |(P – Q) · nA| / |nB|

Trong đó:

P là tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường thẳng vuông góc cả hai mặt phẳng.

Q là tọa độ của một điểm bất kỳ trên mặt phẳng B.

nA và nB lần lượt là vector pháp tuyến của mặt phẳng A và mặt phẳng B.

|nB| là độ dài của vector pháp tuyến của mặt phẳng B.

Ví dụ: Giả sử bạn có hai mặt phẳng A và B, với phương trình lần lượt là:

Mặt phẳng A: x + 2y + 3z – 1 = 0

Mặt phẳng B: 2x – y + z + 4 = 0

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này, ta cần tìm một đường thẳng vuông góc cả hai mặt phẳng. Để làm điều này, ta cần tìm vector pháp tuyến của cả hai mặt phẳng và tính tích vô hướng của chúng. Kết quả sẽ là một vector song song với đường thẳng vuông góc cả hai mặt phẳng. Sau đó, ta chọn một điểm bất kỳ trên đường thẳng này và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng A hoặc mặt phẳng B.

Đối với hai mặt phẳng A và B ở ví dụ trên, vector pháp tuyến của mặt phẳng A là (1, 2, 3), và vector pháp tuyến của mặt phẳng B là (2, -1, 1). Tích vô hướng của hai vector này là:

(1, 2, 3) · (2, -1, 1) = 2 – 2 + 3 = 3

Vậy, một vector song song với đường thẳng vuông góc cả hai mặt phẳng là (1, 2, 3) x (2, -1, 1) = (5, 5, -5). Chọn điểm Q(0, 0, -4)

Bài tập tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Bài tập 1: Tính khoảng cách từ điểm P(2, -1, 3) đến mặt phẳng 2x + 3y – z + 1 = 0.

Lời giải: Trước tiên, ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng. Để làm điều này, ta lấy các hệ số của x, y và z trong phương trình của mặt phẳng, và sắp xếp chúng thành một vector:

n = (2, 3, -1)

Tiếp theo, ta sử dụng công thức để tính khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng:

d = |2×0 + 3y0 – z0 + 1| / sqrt(2^2 + 3^2 + (-1)^2) = |2(2) + 3(-1) – 3 + 1| / sqrt(14) = 1 / sqrt(14) ≈ 0.27

Vậy, khoảng cách từ điểm P(2, -1, 3) đến mặt phẳng 2x + 3y – z + 1 = 0 là khoảng 0.27.

Bài tập 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng A và B, với phương trình lần lượt là:

Mặt phẳng A: 3x – y + 2z – 5 = 0

Mặt phẳng B: 2x + y – z + 1 = 0

Lời giải: Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này, ta cần tìm vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng A đến mặt phẳng B. Đối với mặt phẳng A, vector pháp tuyến là (3, -1, 2), và độ dài của vector này là sqrt(3^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(14). Đối với mặt phẳng B, vector pháp tuyến là (2, 1, -1).

Tiếp theo, ta chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng A và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng B. Ví dụ, chọn điểm P(0, 1, 3) trên mặt phẳng A:

d = |(P – Q) · nB| / |nA| = |(0, 1, 3) – (-1/2, -1/2, -5/2)) · (2, 1, -1)| / sqrt(14) = |(1/2, 3/2, 11/2) · (2, 1, -1)| / sqrt(14) = 9 / sqrt(14) ≈ 2.38

Vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng A và B là khoảng 2.38.

Bài tập 3: Tìm khoảng cách từ một điểm P(4, -2, 1) đến mặt phẳng có phương trình x – 2y + 3z = 4.

Lời giải: Để tìm khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng, ta có thể sử dụng công thức:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Trong đó:

Ax + By + Cz + D = 0 là phương trình của mặt phẳng.

(x0, y0, z0) là tọa độ của điểm cần tính khoảng cách.

|…| là giá trị tuyệt đối.

Vì phương trình của mặt phẳng là x – 2y + 3z = 4, ta có A = 1, B = -2, C = 3, D = -4. Ta thay các giá trị này vào công thức và tính được khoảng cách như sau:

d = |(1)(4) + (-2)(-2) + (3)(1) + (-4)| / sqrt(1^2 + (-2)^2 + 3^2) = |4 + 4 + 3 – 4| / sqrt(14) = 7 / sqrt(14) ≈ 1.87

Vậy, khoảng cách từ điểm P(4, -2, 1) đến mặt phẳng x – 2y + 3z = 4 là khoảng 1.87.

Trên đây là một số thông tin liên quan đến Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tại chuyên mục Toán học. Quý độc giả có thể tham khảo các bài viết khác liên quan tại website: luathoangphi.vn