Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cực hay

Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng là góc tạo thành bởi hai đường thẳng đó khi chúng cắt nhau hoặc song song với nhau. Góc giữa hai đường thẳng được đo bằng đơn vị độ, từ 0 độ đến 180 độ, và được tính từ đường này đến đường kia theo chiều nào đó. Nếu hai đường thẳng song song thì góc giữa chúng bằng 0 độ hoặc 180 độ, tùy thuộc vào hướng đo góc. Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì góc giữa chúng có thể là góc tù, góc nhọn hoặc góc phẳng tùy vào mối quan hệ giữa hai đường thẳng đó.

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng là: góc giữa hai đường thẳng = arctan(|m1 – m2| / |1 + m1 * m2|)

Trong đó, m1 và m2 lần lượt là hai hệ số góc của hai đường thẳng.

Lưu ý rằng công thức này chỉ áp dụng được khi hai đường thẳng không song song với nhau. Nếu hai đường thẳng song song, góc giữa chúng bằng 0 độ.

Để sử dụng công thức này, ta cần đưa phương trình đường thẳng về dạng y = mx + b để tính được hệ số góc m.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng AB và CD có phương trình lần lượt là y = 2x + 1 và y = -0.5x + 4. Tính góc giữa hai đường thẳng.

Đầu tiên, ta tính hai hệ số góc m1 và m2 của hai đường thẳng AB và CD.

Đường thẳng AB có phương trình là y = 2x + 1, nên hệ số góc của đường thẳng AB là m1 = 2.

Đường thẳng CD có phương trình là y = -0.5x + 4, nên hệ số góc của đường thẳng CD là m2 = -0.5.

Sau đó, ta áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng:

góc giữa hai đường thẳng = arctan(|m1 – m2| / |1 + m1 * m2|) = arctan(|2 – (-0.5)| / |1 + 2 * (-0.5)|) = arctan(8/3)

Vậy góc giữa hai đường thẳng là khoảng 70.53 độ (khoảng chừng 2 số thập phân).

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một số phương pháp sau:

Phương pháp 1: Sử dụng góc nội tiếp và góc bù

Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại giao điểm O.

Xác định hai điểm trên đường thẳng AB và CD, ví dụ A, B, C, D.

Tính hai góc AOC và BOD bằng cách sử dụng công thức tính góc của tam giác.

Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai góc nội tiếp: góc giữa hai đường thẳng = |góc AOC – góc BOD|.

Phương pháp 2: Sử dụng hệ số góc của hai đường thẳng

Tìm hệ số góc của hai đường thẳng bằng cách sử dụng phương trình đường thẳng: y = mx + b.

Tính góc giữa hai đường thẳng bằng công thức: góc giữa hai đường thẳng = arctan(|m1 – m2| / |1 + m1 * m2|), trong đó m1 và m2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng.

Lưu ý rằng nếu hai đường thẳng song song, góc giữa chúng bằng 0 hoặc 180 độ (tùy thuộc vào cách đặt hệ trục tọa độ).

Phương pháp 3: Sử dụng tích vô hướng của hai vector chỉ hướng của hai đường thẳng

Tính vector chỉ hướng của hai đường thẳng bằng cách lấy hai vector vuông góc với đường thẳng đó.

Tính tích vô hướng của hai vector chỉ hướng để xác định góc giữa hai đường thẳng theo công thức: góc giữa hai đường thẳng = arccos(|v1 * v2| / (|v1| * |v2|)), trong đó v1 và v2 lần lượt là hai vector chỉ hướng của hai đường thẳng.

Lưu ý rằng phương pháp này chỉ áp dụng được cho không gian ba chiều.

Với ba phương pháp trên, ta có thể xác định góc giữa hai đường thẳng dễ dàng.

Ví dụ: Cho hai đường thẳng AB và CD với phương trình lần lượt là y = 2x + 1 và y = -0.5x + 4.

Sử dụng phương pháp 2, ta tính được hệ số góc của hai đường thẳng là m1 = 2 và m2 = -0.5.

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng, ta có:

góc giữa hai đường thẳng = arctan(|m1 – m2| / |1 + m1 * m2|) = arctan(|2 – (-0.5)| / |1 + 2 * (-0.5)|) = arctan(8/3)

Vậy góc giữa hai đường thẳng là khoảng 70.53 độ (khoảng chừng 2 số thập phân).

Lưu ý rằng kết quả này chỉ là gần đúng vì đã làm tròn số. Nếu ta muốn chính xác hơn, ta cần sử dụng các giá trị số thực khi tính toán.

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng công thức sau:

góc giữa đường thẳng và mặt phẳng = arccos(|a1 * n| / (|a1| * |n|))

Trong đó, a1 là vector chỉ hướng của đường thẳng, n là vector pháp tuyến của mặt phẳng, và |.| là độ dài của vector.

Lưu ý rằng phương pháp này chỉ áp dụng được khi đường thẳng không song song với mặt phẳng.

Để tính vector chỉ hướng của đường thẳng, ta có thể lấy hai điểm trên đường thẳng và tính vector chỉ hướng bằng cách lấy hiệu của hai điểm đó.

Để tính vector pháp tuyến của mặt phẳng, ta có thể lấy ba điểm trên mặt phẳng và tính vector pháp tuyến bằng cách tính tích vector của hai vector chỉ hướng từ các điểm đó.

Ví dụ: Cho đường thẳng AB có phương trình là y = x + 1 và mặt phẳng (P) có phương trình là x + 2y + 3z = 4.

Để tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P), ta cần tính vector chỉ hướng của đường thẳng AB và vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vector chỉ hướng của đường thẳng AB là (1, 1, 0) (lấy hai điểm trên đường thẳng AB là A(0, 1, 1) và B(1, 2, 1), và tính hiệu của chúng).

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1, 2, 3) (lấy ba điểm trên mặt phẳng là (0, 2, 0), (2, 1, 1) và (1, 0, 1), và tính tích vector của hai vector chỉ hướng từ các điểm đó).

Sau đó, ta tính độ dài của hai vector này và áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có:

góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) = arccos(|a1 * n| / (|a1| * |n|)) = arccos(|(1, 1, 0) * (1, 2, 3)| / (|(1, 1, 0)| * |(1, 2, 3)|)) = arccos(5/6)

Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là khoảng chừng 33.56 độ (khoảng chừng 2 số thập phân).

Lưu ý rằng kết quả này chỉ là gần đúng vì đã làm tròn số. Nếu ta muốn chính xác hơn, ta cần sử dụng các giá trị số thực khi tính toán.

Lưu ý khác là trong trường hợp đường thẳng nằm trong mặt phẳng hoặc song song với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là 0 độ hoặc 180 độ, tùy vào cách đặt hệ trục tọa độ.

Bài tập tính góc giữa hai đường thẳng

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng AB và CD có phương trình lần lượt là y = 2x + 1 và y = -0.5x + 4. Tính góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải:

Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng công thức: góc giữa hai đường thẳng = arctan(|m1 – m2| / |1 + m1 * m2|), trong đó m1 và m2 là hai hệ số góc của hai đường thẳng.

Đầu tiên, ta cần tính hai hệ số góc m1 và m2 của hai đường thẳng AB và CD.

Đường thẳng AB có phương trình là y = 2x + 1, nên hệ số góc của đường thẳng AB là m1 = 2.

Đường thẳng CD có phương trình là y = -0.5x + 4, nên hệ số góc của đường thẳng CD là m2 = -0.5.

Sau đó, ta áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng:

góc giữa hai đường thẳng = arctan(|m1 – m2| / |1 + m1 * m2|) = arctan(|2 – (-0.5)| / |1 + 2 * (-0.5)|) = arctan(8/3)

Vậy góc giữa hai đường thẳng là khoảng 70.53 độ (khoảng chừng 2 số thập phân).

Lưu ý rằng kết quả này chỉ là gần đúng vì đã làm tròn số. Nếu ta muốn chính xác hơn, ta cần sử dụng các giá trị số thực khi tính toán.

Bài tập 2: Cho hai đường thẳng AB và CD có phương trình lần lượt là 2x + 3y = 1 và 4x – y = 3. Tính góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải:

Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng công thức: góc giữa hai đường thẳng = arctan(|m1 – m2| / |1 + m1 * m2|), trong đó m1 và m2 là hai hệ số góc của hai đường thẳng.

Đầu tiên, ta cần đưa phương trình đường thẳng về dạng y = mx + b để tính được hệ số góc.

Đường thẳng AB có phương trình là 2x + 3y = 1, ta chuyển về dạng y = mx + b bằng cách giải phương trình này theo y, ta được:

y = (-2/3)x + 1/3

Do đó, hệ số góc của đường thẳng AB là m1 = -2/3.

Đường thẳng CD có phương trình là 4x – y = 3, ta chuyển về dạng y = mx + b bằng cách giải phương trình này theo y, ta được:

y = 4x – 3

Do đó, hệ số góc của đường thẳng CD là m2 = 4.

Sau đó, ta áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng:

góc giữa hai đường thẳng = arctan(|m1 – m2| / |1 + m1 * m2|) = arctan(|(-2/3) – 4| / |1 + (-2/3) * 4|) = arctan(14/11)

Vậy góc giữa hai đường thẳng là khoảng 51.51 độ (khoảng chừng 2 số thập phân).

Lưu ý rằng kết quả này chỉ là gần đúng vì đã làm tròn số. Nếu ta muốn chính xác hơn, ta cần sử dụng các giá trị số thực khi tính toán.

Bài tập 3: Cho đường thẳng AB có phương trình là x – y + 2 = 0 và mặt phẳng (P) có phương trình là x + 2y – 3z + 1 = 0. Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P).

Lời giải:

Để tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P), ta có thể sử dụng công thức: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng = arccos(|a1 * n| / (|a1| * |n|)), trong đó a1 là vector chỉ hướng của đường thẳng AB, n là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Đầu tiên, ta cần tính vector chỉ hướng của đường thẳng AB bằng cách lấy hai điểm trên đường thẳng và tính vector chỉ hướng bằng cách lấy hiệu của hai điểm đó.

Ta chọn hai điểm A(0, 2, -2) và B(1, 1, -1) trên đường thẳng AB. Vector chỉ hướng của đường thẳng AB là AB = B – A = (1, 1, -1) – (0, 2, -2) = (1, -1, 1).

Tiếp theo, ta cần tính vector pháp tuyến của mặt phẳng (P). Để làm điều này, ta chọn ba điểm trên mặt phẳng và tính vector pháp tuyến bằng cách tính tích vector của hai vector chỉ hướng từ các điểm đó.

Ta chọn ba điểm trên mặt phẳng (P) là A(1, 0, 1), B(-1, 1, 0) và C(-2, 2, 1). Hai vector chỉ hướng từ các điểm này là AB = B – A = (-2, 1, -1) và AC = C – A = (-3, 2, 0). Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tích vector của hai vector chỉ hướng AB và AC, ta có:

n = AB x AC = (-2, 1, -1) x (-3, 2, 0) = (2, -3, 1)

Sau đó, ta tính độ dài của hai vector này và áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có:

|a1| = |AB| = sqrt(6) |n| = sqrt(14) |a1 * n| = |(1, -1, 1) * (2, -3, 1)| = 6 góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) = arccos(|a1 * n| / (|a1| * |n|)) = arccos(6 / (sqrt(6) * sqrt(14))) = arccos(3 * sqrt(2 / 7))

Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là khoảng 23.56 độ (khoảng chừng 2 số thập phân).

Lưu ý rằng kết quả này chỉ là gần đúng vì đã làm tròn số. Nếu ta muốn chính xác hơn, ta cần sử dụng các giá trị số thực khi tính toán.

Trên đây là một số thông tin liên quan đến Công thức tính góc giữa hai đường thẳng tại chuyên mục Toán học. Quý độc giả có thể tham khảo các bài viết khác liên quan tạiwebsite: luathoangphi.vn