Bài viết này chúng tôi sẽ cung cấp đến Quý khách hàng kiến thức Toán học về Bất đẳng thức là gì? Một số bất đẳng thức quan trọng

Bất đẳng thức là gì?

Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh:Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.

– Ký hiệu a < b có nghĩa là a nhỏ hơn b

– Ký hiệu a > b có nghĩa là a lớn hơn b.

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có

 có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b

 có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.

 có nghĩa là |a| lớn hơn hoặc bằng a.

Bất đẳng thức tuyệt đối là gì?

Khi một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện.

Khi một bất đẳng thức đúng với một số giá trị nào đó của biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng, sẽ vẫn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương.

Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó thực hiện nhân hay chia bởi một số âm. Đây là những kiến thức cơ bản nhưng quan trọng cho các bất đẳng thức đáng nhớ.

Các tính chất của bất đẳng thức

Tính chất bắc cầu

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức được phát biểu như sau:

 Với mọi số thực a, b,c:

+ Nếu a > b và b > c thì a > c

+ Nếu a < b và b < c thì a < c

Tính chất liên hệ đến phép cộng và phép trừ

Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ được phát biểu như sau:

Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực. Nghĩa là

Với mọi số thực a, b và c:

+ Nếu a > b thì a + c > b + c và a – c > b – c

+ Nếu a < b thì a + c < b + c và a – c < b – c

Tính chất liên hệ đến phép nhân và phép chia

Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia được phát biểu như sau:

Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chia)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực. Cụ thể:

Với mọi số thực a, b và c:

+ Nếu c là một số dương và a > b thì a × c > b × c và a/c > b/c

+ Nếu c là một số dương và a < b thì a × c < b × c và a/c < b/c

+ Nếu c là một số âm và a > b thì a × c < b × c và a/c < b/c

+ Nếu c là một số âm và a < b thì a × c > b × c và a/c > b/c

Quy tắc cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

a & > & b c& > & d end{matrix}right.Rightarrow a+c > b+d)

Một số bất đẳng thức quan trọng

Bất đẳng thức tam giác

Nếu a, b, c là 3 cạnh trong tam giác, ta sẽ có các bất đẳng thức tam giác sau:

a > 0, b > 0, c > 0

|b – c| < a < b + c

|c – a| < b < c + a

|a – b| < c < a + b

a > b > c ⇔ A > B > C (với A, B, C lần lượt là góc đối diện cạnh a, cạnh b, cạnh c)

Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cosi, hay bất đẳng thức AM-GM thực chất là một bất đẳng thức đáng nhớ chỉ mối quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Đây là một trong các bất đẳng thức đáng nhớ được dùng nhiều nhất trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở chương trình toán trung học phổ thông.

Trong toán học, bất đẳng thức Cosi  là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực  không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

+ Đối với trường hợp 2 số thực không âm và 3 số thực không âm:

+ Và tổng quát với n số thực không âm: (x_{1,}, x_{2}, x_{3},…x_{n}), ta có:

(frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}geq sqrt[n]{x_{1}x_{2}…x_{n}})

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x_{1}= x_{2}=…=x_{n})

Trên đây là nội dung bài viết Bất đẳng thức là gì? Một số bất đẳng thức quan trọng. Cảm ơn Quý khách hàng đã quan tâm theo dõi bài viết của chúng tôi.